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JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是两种网络形状的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。六个图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了六个图的形状:

  在介绍怎么用JavaScript实现图之前 ,亲戚亲戚.我歌词 先介绍有些和图相关的术语。

  如上图所示,由每根边连接在同時 的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。六个顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它六个顶点相连,有些有些A的度为3,E和其它六个顶点相连,有些有些E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图中暗含路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不包暗含重复的顶点,将会将的最后六个顶点添加,它也是六个简单路径。例如路径ADCA是六个环,它都可不可以 六个简单路径,将会将路径中的最后六个顶点A添加,没了 它只是我六个简单路径。将会图中不处在环,则称该图是无环的。将会图中任何六个顶点间都处在路径,则该图是连通的,如上图只是我六个连通图。将会图的边没了 方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,将会六个顶点间在双向上都处在路径,则称这六个顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。将会有向图中的任何六个顶点间在双向上都处在路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还能只有是加权的。前面亲戚亲戚.我歌词 看后的图都可不可以 未加权的,下图为六个加权的图:

  能只有想象一下,前面亲戚亲戚.我歌词 介绍的树和链表也属于图的两种特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,例如亲戚亲戚.我歌词 能只有搜索图中的六个特定顶点或每根特定的边,将会寻找六个顶点间的路径以及最短路径,检测图中是否处在环等等。

  处在多种不同的措施来实现图的数据形状,下面介绍几种常用的措施。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,亲戚亲戚.我歌词 用六个二维数组来表示图中顶点之间的连接,将会六个顶点之间处在连接,则这六个顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,之前 我为0。下图是用邻接矩阵措施表示的图:

  将会是加权的图,亲戚亲戚.我歌词 能只有将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵措施处在六个缺点,将会图是非强连通的,则二维数组中会有有些有些的0,这表示亲戚亲戚.我歌词 使用了有些有些的存储空间来表示根本不处在的边。只是我缺点只是我当图的顶点处在改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外两种实现措施是邻接表,它是对邻接矩阵的两种改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,亲戚亲戚.我歌词 能只有用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  亲戚亲戚.我歌词 还能只有用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的状态下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵措施表示的图:

  下面亲戚亲戚.我歌词 重点看下怎么用邻接表的措施表示图。亲戚亲戚.我歌词 的Graph类的骨架如下,它用邻接表措施来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中添加六个新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中添加a和b六个顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,亲戚亲戚.我歌词 用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据形状——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每六个顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面亲戚亲戚.我歌词 给出的邻接表的示意图。之前 我在Graph类中,亲戚亲戚.我歌词 提供六个措施,措施addVertex()用来向图中添加六个新顶点,措施addEdge()用来向图中添加给定的顶点a和顶点b之间的边。让亲戚亲戚.我歌词 来看下这六个措施的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要添加六个新顶点,首没了判断该顶点在图中是否将会处在了,将会将会处在则只有添加。将会不处在,就在vertices数组中添加六个新元素,之前 我在字典adjList中添加六个以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 将会图中没了

顶点a,先添加顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 将会图中没了

顶点b,先添加顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中添加指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中添加指向顶点a的边
}

  addEdge()措施也很简单,首没了确保给定的六个顶点a和b在图中都要处在,将会不处在,则调用addVertex()措施进行添加,之前 我分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中添加六个新元素。

  下面是Graph类的完整代码,其中的toString()措施是为了亲戚亲戚.我歌词 测试用的,它的处在都可不可以 都要的。

  对于本文一结速英文给出的图,亲戚亲戚.我歌词 添加下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  能只有看后,与示意图是相符合的。

  和树例如,亲戚亲戚.我歌词 也能只有对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历措施分为两种:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和角度优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历能只有用来寻找特定的顶点或六个顶点之间的最短路径,以及检查图是否连通、图中是否暗含环等。

  在接下来要实现的算法中,亲戚亲戚.我歌词 按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问之前 我被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第六个顶点结速英文遍历图,先访问两种顶点的所有相邻顶点,之前 我再访问哪几个相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  将会亲戚亲戚.我歌词 采用邻接表的措施来存储图的数据,对于图的每个顶点,都可不可以 六个字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于两种数据形状,亲戚亲戚.我歌词 能只有考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,之前 我依次防止队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将结速英文顶点存入队列。
  2. 遍历结速英文顶点的所有邻接顶点,将会哪几个邻接顶点没了 被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),之前 我加入队列。
  3. 将结速英文顶点标记为被防止(颜色为黑色)。
  4. 循环防止队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()措施接收六个graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要怎么防止被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),哪几个颜色保处在以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性能只有通过getVertices()和getAdjList()措施得到,之前 我构造六个队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据形状——队列的实现与应用》),按照上端描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面亲戚亲戚.我歌词 给出的测试用例的基础上,添加下面的代码,来看看breadthFirstSearch()措施的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也只是我亲戚亲戚.我歌词 用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,亲戚亲戚.我歌词 将顶点I倒进最上端。从顶点I结速英文,首先遍历到的是它的相邻顶点E,之前 我是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D将会被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G将会被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,亲戚亲戚.我歌词 能只有使用它做更多的事情,例如在六个图G中,从顶点v结速英文到其它所有顶点间的最短距离。亲戚亲戚.我歌词 考虑一下怎么用BFS来实现寻找最短路径。

  假设六个相邻顶点间的距离为1,从顶点v结速英文,在其路径上每经过六个顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()措施的改进,用来返回从起始顶点结速英文到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()措施中,亲戚亲戚.我歌词 定义了六个对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及哪几个顶点的前置顶点。BFS()措施不都要callback回调函数,将会它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()措施的逻辑例如,只不过在结速英文的之前 将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,之前 我在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。亲戚亲戚.我歌词 仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A结速英文到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()措施的返回结果为基础,通过下面的代码,亲戚亲戚.我歌词 能只有得出从顶点A结速英文到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类能只有参考《JavaScript数据形状——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上亲戚亲戚.我歌词 说的都可不可以 未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并都可不可以 最大概的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

角度优先

  角度优先算法从图的第六个顶点结速英文,沿着两种顶点的每根路径递归查找到最后六个顶点,之前 我返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,角度优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是角度优先遍历的示意图:

  亲戚亲戚.我歌词 仍然采用和广度优先算法一样的思路,一结速英文将所有的顶点初始化为白色,之前 我沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,将会顶点被探索过(防止过),则将颜色改为黑色。下面是角度优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第六个顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数组织组织结构,将会顶点A被访问过了,有些有些将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(将会处在),之前 我遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,有些有些将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,有些有些将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,有些有些将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I没了 邻接节点,之前 我将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E没了 其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的只是我邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,有些有些将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F没了 邻接节点,之前 我将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第六个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,有些有些将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,有些有些将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,有些有些将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G没了 邻接节点,之前 我将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的只是我邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,有些有些将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H没了 邻接节点,之前 我将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的只是我邻接节点G,将会G将会被访问过,对C的邻接节点的遍历结速英文。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后六个邻接节点D,将会D将会被访问过,对A的邻接节点的遍历结速英文。将A设置为黑色。
  17. 之前 我对剩余的节点进行遍历。将会剩余的节点都被设置为黑色了,有些有些线程池结速英文。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,亲戚亲戚.我歌词 将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,角度优先算法的数据形状是栈,然而这里亲戚亲戚.我歌词 并没了 使用栈来存储任何数据,只是我使用了函数的递归调用,确实递归也是栈的两种表现形式。另外有些,将会图是连通的(即图中任何六个顶点之间都处在路径),亲戚亲戚.我歌词 能只有对上述代码中的depthFirstSearch()措施进行改进,只都要对图的起始顶点结速英文遍历一次就能只有了,而不都要遍历图的所有顶点,将会从起始顶点结速英文的递归就能只有覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了角度优先算法的工作原理,亲戚亲戚.我歌词 能只有使用它做更多的事情,例如拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort将会toposort)。与广度优先算法例如,亲戚亲戚.我歌词 也对上端的depthFirstSeach()措施进行改进,以说明怎么使用角度优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()措施会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,亲戚亲戚.我歌词 假定时间从0结速英文,每经过一步时间值加1。在DFS()措施中,亲戚亲戚.我歌词 用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(两种和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这六个值。这里都要注意的是,变量time不言而喻被定义为对象而都可不可以 六个普通的数字,是将会亲戚亲戚.我歌词 都要在函数间传递两种变量,将会只是我作为值传递,函数组织组织结构对变量的修改不要 再影响到它的原始值,之前 我亲戚亲戚.我歌词 只是我都要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,有些有些采用值传递的措施显然不行。之前 我亲戚亲戚.我歌词 将time定义为六个对象,对象被作为引用传递给函数,只是我在函数组织组织结构对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()措施的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  亲戚亲戚.我歌词 将结果反映到示意图上,只是我更加直观:

  示意图上每六个顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完整完成时间是18,能只有结合前面的角度优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。同時 亲戚亲戚.我歌词 也看后,角度优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序只有应用于有向无环图(DAG)。基于上端DFS()措施的返回结果,亲戚亲戚.我歌词 能只有对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到亲戚亲戚.我歌词 都要的拓扑排序结果。

  将会要实现有向图,只都要对前面亲戚亲戚.我歌词 实现的Graph类的addEdge()措施略加修改,将最后一行删掉。当然,亲戚亲戚.我歌词 也能只有在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  之前 我亲戚亲戚.我歌词 对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章亲戚亲戚.我歌词 将介绍怎么用JavaScript来实现各种常见的排序算法。